Как найти обратную матрицу?

Как найти обратную матрицу?

Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А конкретно – в процессе исследования данной лекции вы научитесь отыскивать оборотную матрицу. Научитесь. Даже, если с арифметикой туго.

Что такое оборотная матрица? Тут можно провести аналогию с оборотными числами: разглядим, к примеру, оптимистичное число 5 и оборотное ему число . Произведение данных чисел равно единице: . С матрицами всё Как найти обратную матрицу? похоже! Произведение матрицы на оборотную ей матрицу равно – единичной матрице, которая является матричным аналогом числовой единицы. Но обо всём по порядку – поначалу решим принципиальный практический вопрос, а конкретно, научимся эту самую оборотную матрицу отыскивать.

Что следует знать и уметь для нахождения оборотной матрицы? Вы должны уметь решать определители Как найти обратную матрицу?. Вы должны осознавать, что такое матрица и уметь делать некие деяния с ними.

Есть? Тогда поехали далее. А хотя… ехать могут все, если что-то не понимаете, я буду ставить подходящую ссылку по ходу разъяснений.

Существует два главных способа нахождения оборотной матрицы:
при помощи алгебраических дополнений и при помощи Как найти обратную матрицу? простых преобразований.

Сейчас мы изучим 1-ый, более обычный метод.

Начнем с самого страшного и непонятного. Разглядим квадратную матрицу . Оборотную матрицу можно отыскать по последующей формуле:

, где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответственных частей матрицы .

Понятие оборотной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три Как найти обратную матрицу?» и т.д.

Обозначения: Как вы уже, наверняка, увидели, оборотная матрица обозначается надстрочным индексом

Начнем с простого варианта – матрицы «два на два». В большинстве случаев, естественно, требуется отыскать оборотную матрицу для матрицы «три на три», но, все же, безотступно рекомендую изучить более обычное задание, для того чтоб усвоить Как найти обратную матрицу? общий принцип решения.

Пример:

Отыскать оборотную матрицу для матрицы

Решаем. Последовательность действий комфортно разложить по пт.

1) Поначалу находим определитель матрицы.

Если с осознанием этого действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?

Принципиально! В этом случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – оборотной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

В рассматриваемом примере, как выяснилось Как найти обратную матрицу?, , а означает, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров .

Для решения нашей задачки не непременно знать, что такое минор, но, лучше ознакомиться со статьей Как вычислить определитель.

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , другими словами в этом случае .
Дело за малым, осталось отыскать четыре числа и поставить Как найти обратную матрицу? их заместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице
Поначалу разглядим левый верхний элемент:

Как отыскать его минор?
А делается это так: На уровне мыслей вычеркиваем строчку и столбец, в каком находится данный элемент:

Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем Как найти обратную матрицу? последующий элемент матрицы :

На уровне мыслей вычеркиваем строчку и столбец, в каком стоит данный элемент:

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

Аналогично рассматриваем элементы 2-ой строчки и находим их миноры:


Готово.

– матрица миноров соответственных частей матрицы .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

Это просто Как найти обратную матрицу?. В матрице миноров необходимо ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у 2-ух чисел:

Конкретно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

– матрица алгебраических дополнений соответственных частей матрицы .

И всего-то только…

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

Что такое транспонирование матрицы, и с чем это едят, смотрите в лекции Деяния с матрицами.

– транспонированная Как найти обратную матрицу? матрица алгебраических дополнений соответственных частей матрицы .

5) Ответ.

Вспоминаем нашу формулу
Всё найдено!

Таким макаром, оборотная матрица:

Ответ лучше бросить в таком виде. Не надо разделять каждый элемент матрицы на 2, потому что получатся дробные числа. Более тщательно данный аспект рассмотрен в той же статье Деяния с матрицами.

Как проверить решение?

Нужно Как найти обратную матрицу? выполнить матричное умножение или

Проверка:

Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в других местах.

Таким макаром, оборотная матрица найдена верно.

Если провести действие , то в итоге тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию Как найти обратную матрицу? можно отыскать в статье Характеристики операций над матрицами. Матричные выражения. Также заметьте, что в процессе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.

Перебегаем к более всераспространенному на практике случаю – матрице «три на три»:

Пример:

Отыскать оборотную матрицу для Как найти обратную матрицу? матрицы

Метод вточности такой же, как и для варианта «два на два».

Оборотную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответственных частей матрицы .

1) Находим определитель матрицы.


Тут определитель раскрыт по первой строке.

Также не забываем, что , а означает, всё нормально – оборотная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров .

Матрица миноров Как найти обратную матрицу? имеет размерность «три на три» , и нам необходимо отыскать девять чисел.

Я тщательно рассмотрю парочку миноров:

Разглядим последующий элемент матрицы:

На уровне мыслей вычеркиваем строчку и столбец, в каком находится данный элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»

Этот определитель «два на два» и является минором Как найти обратную матрицу? данного элемента. Его необходимо вычислить:

Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

Как вы, наверняка, додумались, нужно вычислить девять определителей «два на два». Процесс, естественно, муторный, но случай не самый тяжкий, бывает ужаснее.

Ну и для закрепления – нахождение еще 1-го минора в картинах:

Другие миноры попытайтесь Как найти обратную матрицу? вычислить без помощи других.

Окончательный итог:
– матрица миноров соответственных частей матрицы .

То, что все миноры вышли отрицательными – незапятнанная случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

В матрице миноров нужно Поменять ЗНАКИ строго у последующих частей:

В этом случае:
– матрица алгебраических дополнений соответственных частей матрицы .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответственных Как найти обратную матрицу? частей матрицы .

5) Ответ:

Проверка:

Таким макаром, оборотная матрица найдена верно.

Как оформить решение на чистовик? Примерный эталон чистового дизайна задания можно отыскать на страницеПравило Крамера. Способ оборотной матрицы в параграфе, где речь идет о матричном способе решения системы линейных уравнений. По существу, основная часть упомянутой задачки – и есть Как найти обратную матрицу? поиск оборотной матрицы.

Нахождение оборотной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, потому что такое задание может дать только преподаватель-садист (чтоб студент вычислил один определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике повстречался только один таковой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои Как найти обратную матрицу? мучения достаточно недешево =).

В ряде учебников, методичек можно повстречать несколько другой подход к нахождению оборотной матрицы, но я рекомендую воспользоваться конкретно вышеизложенным методом решения. Почему? Так как возможность запутаться в вычислениях и знаках – еще меньше.

Время от времени оборотную матрицу требуется отыскать способом Гаусса-Жордана, но 2-ой метод доступен Как найти обратную матрицу? для студентов с солидной техникой простых преобразований.

Желаю фурроров!

Создатель: Емелин Александр


kak-mozhet-chelovek-zhivotnogo-proishozhdeniya-imet-duhovnie-potrebnosti-oktyabr-84.html
kak-mozhno-bit-stranica-5.html
kak-mozhno-kupit-duhi-s-feromonami.html